斜率的傳遞函數(shù)：次諧波振蕩的理論解釋

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斜率的傳遞函數(shù)：次諧波振蕩的理論解釋

眾所周知，在固定頻率的峰值電流模式控制的降壓轉(zhuǎn)換器中，電感電流連續(xù)，占空比大于50%時(shí)，會(huì)發(fā)生次諧波（低諧波）振蕩，并且在近來(lái)幾乎所有電源用IC中搭載斜率補(bǔ)償電路作為對(duì)策。

這一篇雖然稍微偏離導(dǎo)出DC/DC轉(zhuǎn)換器的傳遞函數(shù)的主題，但因?qū)斫?strong>次諧波振蕩的理論解釋非常重要，所以這里進(jìn)行解釋。

電流模式降壓轉(zhuǎn)換器的線圈（電感）電流波形如圖10。這里，將某時(shí)間的電流值標(biāo)為In,將1周期后的電流值標(biāo)為In+1。

此時(shí)，導(dǎo)通時(shí)間用tON(n)表示，關(guān)斷時(shí)間用tOFF(n)表示，導(dǎo)通時(shí)線圈電流的傾斜度用m1表示，關(guān)斷時(shí)線圈電流的傾斜度用m2表示。

使用它們，并用In+1來(lái)表示In的話，便生成公式3-15。

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在這里，m1用公式3-16表示，此時(shí)，m2可以用公式3-17來(lái)表示。

下圖11是圖10的PWM輸入波形。電流感應(yīng)增益是RS的話，剛導(dǎo)通時(shí)的PWM輸入則是RSIn。

次諧波振蕩的理論解釋

此外，tON的時(shí)間段增加的電流為m1tON(n)，因此PWM輸入的峰值電壓VC可以用公式3-18來(lái)表示。

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此時(shí)，公式3-15的tOFF(n)可以變換成公式3-19。在這里，T是指周期。

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根據(jù)公式 3-18 計(jì)算 tON(n)，并將它帶入公式3-15計(jì)算的話，就可計(jì)算出公式3-20。

｛In+1 – In｝是等比數(shù)列，因此不發(fā)生次諧波振蕩的條件是此等比數(shù)列n → ∞，收斂為0。也就是說(shuō)，以下公式3-21就是條件。

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此外，在公式3-21中代入公式3-16和公式3-17的話，就能計(jì)算出以下條件公式3-22。

因而，占空比D為1/2、小于50%是不產(chǎn)生次諧波振蕩的條件，符合開(kāi)頭的表述，占空比大于50%的話，就能導(dǎo)出次諧波振蕩的理論解釋。

開(kāi)關(guān)電源峰值電流模式次諧波振蕩探討

DC-DC開(kāi)關(guān)電源因體積小，重量輕，效率高，性能穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)在電子、電器設(shè)備，家電領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，進(jìn)入了快速發(fā)展期。DC-DC開(kāi)關(guān)電源采用功率半導(dǎo)體作為開(kāi)關(guān)，通過(guò)控制開(kāi)關(guān)的占空比調(diào)整輸出電壓。其控制電路拓?fù)浞譃殡娏髂Ｊ胶碗妷耗Ｊ剑娏髂Ｊ娇刂埔騽?dòng)態(tài)反應(yīng)快、補(bǔ)償電路簡(jiǎn)化、增益帶寬大、輸出電感小和易于均流等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。電流模式控制又分為峰值電流控制和平均電流控制，峰值電流的優(yōu)點(diǎn)為：1)暫態(tài)閉環(huán)響應(yīng)比較快，對(duì)輸入電壓的變化和輸出負(fù)載的變化瞬態(tài)響應(yīng)也比較快;2)控制環(huán)易于設(shè)計(jì);3)具有簡(jiǎn)單自動(dòng)的磁平衡功能;4)具有瞬時(shí)峰值電流限流功能等。但是峰值電感電流可能會(huì)引起系統(tǒng)出現(xiàn)次諧波振蕩，許多文獻(xiàn)雖對(duì)此進(jìn)行一定的介紹，但都沒(méi)有對(duì)次諧波振蕩進(jìn)行系統(tǒng)研究，特別是其產(chǎn)生原因和具體的電路實(shí)現(xiàn)，本文將對(duì)次諧波振蕩進(jìn)行系統(tǒng)研究。

1 次諧波振蕩產(chǎn)生原因

以PWM調(diào)制峰值電流模式開(kāi)關(guān)電源為例(如圖1所示，并給出了下斜坡補(bǔ)償結(jié)構(gòu))，對(duì)次諧波振蕩產(chǎn)生的原因從不同的角度進(jìn)行詳細(xì)分析。

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對(duì)于電流內(nèi)環(huán)控制模式，圖2給出了當(dāng)系統(tǒng)占空比大于50%且電感電流發(fā)生微小階躍△厶時(shí)的電感電流變化情況，其中實(shí)線為系統(tǒng)正常工作時(shí)的電感電流波形，虛線為電感電流實(shí)際工作波形?？梢钥闯觯?)后一個(gè)時(shí)鐘周期的電感電流誤差比前一個(gè)周期的電感電流誤差大，即電感電流誤差信號(hào)振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定;2)振蕩周期為開(kāi)關(guān)周期的2倍，即振蕩頻率為開(kāi)關(guān)頻率的1/2，這就是次諧波振蕩名稱的由來(lái)。圖3給出了當(dāng)系統(tǒng)占空比大于50%且占空比發(fā)生微小階躍AD時(shí)電感電流的變化情況，可以看出系統(tǒng)同樣會(huì)出現(xiàn)次諧波振蕩。而當(dāng)系統(tǒng)占空比小于50%時(shí)，雖然電感電流或占空比的擾動(dòng)同樣會(huì)引起電感電流誤差信號(hào)發(fā)生振蕩，但這種振蕩屬于衰減振蕩。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

前面定性分析了次諧波振蕩產(chǎn)生的原因，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行定量分析。針對(duì)圖1，圖4給出了占空比擾動(dòng)引起電感峰值電流誤差信號(hào)變化情況，其中Vc為誤差運(yùn)放的輸出信號(hào)，當(dāng)功率管MO導(dǎo)通即電感電流線性上升時(shí)，Vc隨之增加，反之當(dāng)功率管M0關(guān)斷時(shí)，Vc隨之減小。從圖4可以看出當(dāng)占空比在連續(xù)2個(gè)時(shí)鐘脈沖下存在不對(duì)稱時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)次諧波振蕩?，F(xiàn)推導(dǎo)△Vc與△IL的關(guān)系，占空比擾動(dòng)△D引起電感電流與誤差運(yùn)放輸出電壓的變化值分別如式(1)和(2)所示，由式(1)和(2)可推導(dǎo)出Vc與△IL的關(guān)系如式(3)所示：

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式中：T為開(kāi)關(guān)周期;m1為峰值電流上升斜率;m2為峰值電流下降斜率絕對(duì)值;七代表采樣電阻。

由于次諧波振蕩頻率為開(kāi)關(guān)頻率的1/2，因此在1/2開(kāi)關(guān)頻率處的電壓環(huán)路增益將直接影響電路的穩(wěn)定性。現(xiàn)推導(dǎo)圖1的電壓環(huán)路增益，在誤差運(yùn)放輸出端疊加斜坡補(bǔ)償后，設(shè)誤差電壓從△Vc變?yōu)椤鱒e，從而可推出△Vc與△Ve的關(guān)系，如式(4)所示。由式(3)和(4)可得式(5)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)可推出式(6)，將式(6)代入式(5)消去m1，得式(7)：

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式中：m為下斜坡斜率;2表示次諧波振蕩周期是開(kāi)關(guān)頻率的2倍。

從圖4可以看出△IL是周期為2T的方波，則第1個(gè)次諧波振幅應(yīng)乘以4/π。假設(shè)負(fù)載電容為C，則從誤差運(yùn)放輸出端到電源輸出端的小信號(hào)電壓增益為

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設(shè)誤差運(yùn)放電壓增益為A，則電壓外環(huán)環(huán)路增益為

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由環(huán)路穩(wěn)定性條件可知：在l/2開(kāi)關(guān)頻率處，環(huán)路相位裕度為零，此時(shí)若環(huán)路增益大于l，系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生次諧波振蕩，因此誤差運(yùn)放的最大增益為：

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由式(8)可以明顯看出，誤差運(yùn)放的最大增益是占空比D和斜坡補(bǔ)償斜率m的函數(shù)，歸一化的誤差運(yùn)放最大增益與D和m的關(guān)系如圖5所示?？梢钥闯觯簃=O(無(wú)補(bǔ)償)時(shí)，由于運(yùn)放增益不能小于O，當(dāng)占空比大于或等于50%時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)次諧波振蕩;m=一m2/2時(shí)，D=100%才出現(xiàn)次諧波振蕩，但在實(shí)際電路中D<100%時(shí)就會(huì)出現(xiàn)振蕩;m=一m2時(shí)，誤差運(yùn)放最大增益與占空比無(wú)關(guān)。當(dāng)繼續(xù)增大m時(shí)，對(duì)環(huán)路的穩(wěn)定性影響不大，但過(guò)補(bǔ)償會(huì)影響系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)特性。

上文研究了電感電流信號(hào)變化波形對(duì)次諧波振蕩產(chǎn)生的原因及解決辦法，現(xiàn)從s域(或頻域)角度對(duì)其進(jìn)行更深入的研究。設(shè)采樣電感電流i，通過(guò)采樣電阻Rs轉(zhuǎn)化成電壓，i(k)表示第k時(shí)鐘下的電流擾動(dòng)量，△Ve(k+1)為第k+1時(shí)刻的電壓控制擾動(dòng)量，得采樣保持的離散時(shí)間函數(shù)：

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由式(10)可知當(dāng)沒(méi)有斜坡補(bǔ)償，且m11，表示有1個(gè)極點(diǎn)在單位圓之外，此時(shí)電流環(huán)不穩(wěn)定。將H(z)轉(zhuǎn)化為s域傳遞函數(shù)：

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式中s表示頻率。esT可用PadE可用Pade進(jìn)行二階近似：

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式中Qs=2/[π(2/α-1)]，即阻尼系數(shù)為1/Qs=[π(m1-m2+2m)]/[2(m1+m2)]。式(13)即為電流環(huán)傳遞函數(shù)，斜坡補(bǔ)償前，當(dāng)m1(m2-m1)/2即m>max[(m2-m1)/2]=m2/2時(shí)，Qs大于0，此時(shí)電流環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)將出現(xiàn)在左半平面，此時(shí)系統(tǒng)也不一定穩(wěn)定，只有保證電流環(huán)具有足夠的相位裕度時(shí)，系統(tǒng)才穩(wěn)定。當(dāng)m2>m>m2/2時(shí)，系統(tǒng)雖穩(wěn)定，但此時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)振鈴電流，只有當(dāng)m=m2即阻尼系數(shù)為π/2時(shí)，系統(tǒng)才能在一個(gè)周期內(nèi)消除振鈴電流，從而獲得非常好的瞬態(tài)響應(yīng)。當(dāng)m>m2時(shí)，雖然電流環(huán)相位裕度增加，但其帶寬變小，即出現(xiàn)過(guò)補(bǔ)償現(xiàn)象，此時(shí)會(huì)影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

2 斜坡補(bǔ)償方式及電路實(shí)現(xiàn)

前文從幾個(gè)方面研究了次諧波振蕩產(chǎn)生的原因，并且指出斜坡補(bǔ)償能防止系統(tǒng)出次諧波振蕩，現(xiàn)研究補(bǔ)償方式及其具體電路實(shí)現(xiàn)。開(kāi)關(guān)電源斜坡補(bǔ)償分為上斜坡補(bǔ)償與下斜坡補(bǔ)償2種方式。圖6為下斜坡補(bǔ)償原理，給出了下斜坡補(bǔ)償時(shí)占空比大于50%的電感峰值電流波形(電流微小擾動(dòng)作為激勵(lì)信號(hào))。與圖2相比，僅Ve從水平直線改為下斜坡。從圖6可以看出，引入斜坡補(bǔ)償后，電流誤差信號(hào)每經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)鐘周期，幅度成比例衰減，最后消失。圖7為上斜坡補(bǔ)償原理，給出了占空比大于50%的電感峰值電流波形。其補(bǔ)償原理就是在電感峰值電流a上疊加上斜坡補(bǔ)償電流b，形成檢測(cè)電流c，使占空比小于50%，穩(wěn)定系統(tǒng)。由于上斜坡補(bǔ)償電路實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，一般采用上斜坡補(bǔ)償。

對(duì)于斜坡補(bǔ)償，斜率越大，振蕩衰減越快，但補(bǔ)償斜率過(guò)大，會(huì)造成過(guò)補(bǔ)償。過(guò)補(bǔ)償會(huì)加劇斜坡補(bǔ)償對(duì)系統(tǒng)開(kāi)關(guān)電流限制指標(biāo)的影響，從而降低系統(tǒng)的帶載能力;另一方面，過(guò)補(bǔ)償會(huì)影響系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)特性。通常選擇斜坡補(bǔ)償斜率需根據(jù)需要折中考慮。對(duì)于Buck和Flyback轉(zhuǎn)換器，補(bǔ)償斜坡一般取峰值電流下降斜率m2即Vout/L，由于輸出電壓恒定，所以補(bǔ)償值便于計(jì)算并恒定;對(duì)于Boost電路，補(bǔ)償斜坡也一般取峰值電流下降斜率m2，即(Vout-Vin)/L但由于輸入電壓隨電網(wǎng)變化，從而要求補(bǔ)償值跟隨輸入電壓的變化，此時(shí)若為了電路設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，強(qiáng)迫斜坡斜率固定，則可能出現(xiàn)過(guò)補(bǔ)償或欠補(bǔ)償現(xiàn)象，降低電路性能并導(dǎo)致波形畸變。

斜率的傳遞函數(shù)

因Buck與Flyback轉(zhuǎn)換器斜坡補(bǔ)償原理電路實(shí)現(xiàn)基本相同，因此本文只給出了一種上斜坡補(bǔ)償?shù)腇lyback斜坡補(bǔ)償電路(圖8所示)。圖9為本文第二作者提出的一種升壓型轉(zhuǎn)換器自調(diào)節(jié)斜坡補(bǔ)償電路。采用Hspice仿真軟件分別對(duì)圖8和圖9進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果分別如圖10和圖11所示。圖10的振蕩器頻率為100 kHz。m1為檢測(cè)電流曲線，其從0慢慢上升到40μA。虛線a,b和c代表具有不同斜率的斜坡補(bǔ)償信號(hào)，線A，B和C分別為疊加后的曲線。從圖10可看出：通過(guò)改變電阻R5和R4的比值，可以得到具有不同斜坡的補(bǔ)償信號(hào)。圖11中，Vsense為電感上的峰值電流流過(guò)檢測(cè)電阻所產(chǎn)生的電壓，Vslope為經(jīng)上斜坡補(bǔ)償后的檢測(cè)電流流過(guò)檢測(cè)電阻所產(chǎn)生的電壓。從圖11可以看出，不同的輸入電壓對(duì)應(yīng)不同的補(bǔ)償斜坡，并且斜坡變化與(Vout-Vin)的變化成正比即達(dá)到了自調(diào)節(jié)功能。

次諧波振蕩的理論解釋